## ``Congruent number curves'' ny2=x3-x with |n| congruent to 5 mod 8 and less than ten million with rank at least 3, assuming BSD and generalized Gross-Zagier

In this page we reported and used the list of |n|=8k+5<106 for which the ``congruent number'' curve

E(n): n y2 = x3 - x

has conjectural rank at least 3. In that page we extended the corresponding list for |n|=8k+7 up to 107. Here we give the extension to 107 of the 8k+5 list. This is the most conjectural of these rank-3 lists, as it assumes all the conjectures that arise separately in the other tables: the Birch and Swinnerton-Dyer formula equating the analytic and arithmetic ranks of E(n); the conjectural extension of the Gross-Zagier formula to the ``mock Heegner'' points used for |n|=8k+5; and the assumption that such a point that could not be numerically distinguished from a torsion point actually is torsion. The computation took somewhat longer than the one for |n|=8k+7<107, because the first screening, using 2-descent between E(n) and the 2-isogenous curve ny2=x3+4x, was not as effective: 21.6% of the curves E(n) with |n|=8k+5<107 pass this test, as opposed to 16.2% with |n|=8k+7.

A total of 2338 values of |n| are listed. A graph (PostScript, landscape mode) of the function f(N)={number of |n|<N in the list} can be found here.

2605 4669 8005 10549 11005 11029 13317 14965 18221 20005 20909 23405 23709 26013 26245 26565 27613 28221 32893 33117 35269 40397 40885 41181 41309 42029 43405 45037 47957 50061 50629 51933 53605 55549 60229 63005 68605 69085 69509 70013 70189 70941 76245 80189 81469 81669 82205 82309 83845 90597 91749 92045 92157 99309 99645 103309 108717 109389 110589 110805 115221 116645 125749 132405 134805 136445 137613 139893 140005 141141 141661 143021 148733 150805 155309 160701 160805 161605 162285 166957 170877 174709 180277 181589 182005 187013 190805 198061 199805 205933 207021 209005 212749 217141 218285 224005 225301 226005 230061 232981 234069 234821 239669 243165 246205 248469 251669 258621 265109 266541 268933 269717 270805 271765 276261 276501 278621 280165 280261 282341 282405 282613 284005 289445 289765 290789 293645 296429 305949 307365 310405 318237 318773 319349 330941 331813 335901 338261 342205 343181 343493 344757 348909 353381 354173 355589 356741 362645 363613 367285 369421 370069 372701 375173 377405 388245 390949 391629 395637 397421 397797 399189 404549 410437 410821 411677 416005 419765 420045 421405 421429 424461 425405 425901 429709 434701 436805 438605 440453 443541 443685 449837 452341 453277 454205 461029 462685 465861 468741 470373 473421 477581 485485 490845 496509 497005 498885 504341 505421 507085 508485 513949 516581 517789 522805 523981 525941 527845 529581 535381 535501 536781 537205 539437 543205 544357 544685 545669 547205 550981 551733 551973 553213 569837 571909 572101 573013 573781 576821 581269 581509 582981 584885 585741 585821 587221 592997 594741 597365 599461 600061 600773 605829 611749 619989 622973 623733 626381 628845 629333 630597 631085 632613 633085 635789 637941 640101 647309 648669 649605 650301 653029 655221 660005 671573 672605 673293 675853 679205 681245 686933 687797 688541 689005 692189 697885 697965 702149 702429 704685 713765 716885 719693 720853 730229 731645 732669 735005 739381 740485 744765 749405 749989 751485 753445 758693 759829 762013 764949 765669 770109 774701 779605 780845 785437 786445 789965 790621 791245 791997 800101 801413 801933 802405 802869 804221 808917 811941 812181 813101 813365 818845 821541 821845 824261 831405 839613 840885 844781 845189 848309 859677 861445 868749 868965 871653 873717 876509 877533 880157 880469 883277 887565 889413 889477 891429 897005 898885 901901 903901 906373 917165 930741 931917 933069 933317 935085 939605 950629 951405 955245 956685 957885 961653 961989 966485 970669 971741 975605 975973 978437 979685 982085 982181 984885 987861 989485 989989 992165 992381 996149 1003749 1005685 1008893 1011237 1012181 1017685 1018181 1020773 1021197 1026069 1028805 1032413 1036685 1037645 1040677 1051773 1054685 1056261 1059253 1067605 1067845 1074885 1078861 1079845 1085469 1087877 1093549 1094205 1098021 1107533 1117805 1119477 1119941 1119989 1121765 1122949 1125245 1132989 1140661 1144605 1145045 1150149 1155949 1160733 1164301 1168549 1169989 1176285 1178957 1186685 1187005 1188421 1191197 1192485 1194685 1196005 1200669 1202349 1202885 1203789 1207005 1217965 1219733 1222685 1225365 1232205 1233573 1234941 1242677 1243221 1251965 1256293 1264317 1264341 1267365 1269093 1271933 1273589 1275389 1276741 1280605 1283341 1283693 1288885 1291269 1296461 1296845 1299229 1301005 1309909 1312205 1313821 1319037 1330069 1338469 1339741 1340693 1347405 1350581 1351109 1354485 1358405 1361757 1368269 1368309 1368741 1378765 1388405 1391397 1393221 1400605 1407205 1408589 1414909 1415029 1416605 1418685 1419893 1429205 1429989 1431357 1433261 1435205 1435973 1444621 1444805 1445685 1445765 1446965 1452061 1459941 1460701 1461397 1462053 1464205 1465405 1467669 1474701 1474733 1477029 1480485 1480565 1485957 1495781 1502949 1506005 1507253 1517605 1517685 1520837 1522549 1524965 1525741 1533085 1545501 1550005 1550621 1551669 1552621 1553885 1558765 1561677 1563869 1566845 1569509 1579045 1579341 1580629 1582149 1582581 1586445 1590141 1590389 1591485 1598181 1599045 1601693 1607213 1608965 1610605 1622701 1626429 1626709 1628837 1632629 1650709 1652189 1661213 1671573 1673405 1679821 1686781 1690293 1695421 1696181 1697101 1698645 1701165 1701445 1705477 1711029 1718101 1721869 1728413 1731341 1734405 1736301 1736637 1738405 1741053 1748989 1751165 1754285 1763229 1764021 1764373 1773605 1784573 1787773 1791861 1800645 1810005 1813253 1819493 1826293 1826565 1828021 1828205 1842805 1848605 1848749 1851445 1852949 1860085 1869549 1883549 1889821 1893549 1894533 1897805 1898717 1901941 1903605 1905941 1905989 1906005 1906981 1912101 1914005 1915485 1929805 1931509 1933381 1944061 1953845 1954149 1955069 1955765 1965805 1968205 1968629 1970381 1972469 1975045 1975781 1977365 1982149 1984605 1992621 1993245 1998829 2000965 2003677 2007453 2007781 2010637 2012061 2026893 2027245 2028813 2032701 2035677 2043021 2045589 2047205 2048109 2051301 2060317 2078141 2085837 2089901 2098317 2105077 2110829 2116173 2119949 2121205 2123781 2125765 2127261 2127549 2128189 2136205 2140205 2142021 2147749 2148341 2149589 2151093 2154341 2156533 2159861 2168309 2171973 2181005 2183461 2183605 2187093 2189085 2190453 2193061 2193901 2194733 2199389 2201381 2201389 2209285 2209829 2220149 2221805 2222285 2224045 2225293 2225685 2226549 2234213 2235917 2241365 2249797 2253565 2254805 2256085 2256365 2256845 2259213 2268877 2269029 2274605 2277085 2285837 2295221 2296749 2303805 2307365 2307901 2308549 2312141 2314669 2316301 2318885 2323045 2323205 2328501 2331285 2332957 2335021 2337181 2341797 2345253 2346869 2350805 2351309 2353805 2357285 2362157 2365917 2369005 2369661 2374773 2379405 2382965 2390869 2390997 2391781 2399533 2407621 2417077 2417349 2422245 2425893 2440373 2440853 2441509 2442629 2444405 2449501 2450645 2454045 2463461 2463485 2465421 2470045 2472533 2473149 2483029 2494869 2495069 2496005 2501533 2502845 2504301 2509405 2513069 2513805 2514597 2519517 2531005 2531405 2534277 2535205 2542773 2549941 2551445 2554365 2556749 2569781 2573173 2573285 2578381 2588565 2589301 2592181 2604581 2604973 2606061 2609565 2615741 2619565 2630933 2641205 2642861 2643205 2643997 2645149 2645909 2651389 2652085 2652461 2653629 2654045 2654709 2659301 2661685 2663661 2664005 2664077 2667197 2671781 2672789 2674685 2679837 2693469 2697589 2715245 2715869 2723413 2724189 2732413 2737085 2739029 2740245 2744709 2748605 2751949 2752957 2753405 2759997 2763005 2779301 2787109 2793389 2795165 2799165 2801229 2801645 2803861 2804541 2814933 2817661 2822405 2825205 2826141 2828805 2829181 2830965 2831021 2834069 2835597 2841005 2842981 2854645 2855621 2858941 2863429 2876109 2880709 2883829 2888341 2893821 2896205 2899309 2911709 2916173 2925205 2929549 2931117 2931661 2938917 2941013 2945285 2948701 2950565 2958005 2959205 2962421 2964565 2968581 2969053 2970245 2983701 2992269 2992677 2993205 2993685 2999245 3000941 3001845 3002109 3003869 3006365 3006773 3006861 3011789 3012205 3030005 3031405 3040869 3042109 3044797 3046877 3049501 3050565 3060805 3061365 3071077 3072405 3076949 3078285 3078933 3083885 3087949 3088509 3089317 3093629 3099837 3104445 3106597 3109749 3110037 3128853 3130621 3133037 3140301 3149781 3152261 3159845 3164837 3167045 3175061 3186365 3189245 3189373 3189381 3199757 3202581 3202589 3206405 3212365 3216381 3217557 3223285 3224765 3226821 3228477 3228765 3230981 3233685 3237189 3242485 3246901 3252205 3252805 3266965 3269805 3270317 3279205 3287221 3289389 3290501 3291821 3296157 3297829 3300037 3300349 3301469 3303789 3303805 3306605 3313541 3315733 3316597 3317485 3318581 3319253 3324677 3325109 3327869 3328141 3336205 3339669 3346541 3348005 3349029 3365997 3366493 3379109 3389901 3393605 3402941 3403805 3406109 3406245 3407365 3409421 3423381 3431085 3431365 3433109 3445085 3445845 3447781 3448141 3449509 3451749 3459045 3467317 3473533 3475037 3476429 3480477 3486821 3493165 3496989 3501141 3503149 3505845 3509205 3510661 3511445 3512197 3518669 3526517 3526565 3533045 3536941 3539109 3545661 3546869 3549333 3551533 3557365 3560765 3561789 3563645 3572021 3572285 3577789 3584053 3591021 3604965 3607877 3613277 3616189 3620645 3626573 3632781 3636653 3641981 3653629 3659597 3659829 3661669 3664549 3668093 3669005 3672357 3672565 3672669 3674861 3677173 3687205 3687677 3692429 3694085 3694165 3696109 3702109 3702765 3704005 3708221 3718509 3726677 3734445 3739205 3739701 3747549 3751373 3755005 3757821 3759189 3761205 3761581 3777605 3777893 3778493 3786853 3793741 3796709 3801205 3805509 3808653 3819549 3829701 3831685 3832509 3839853 3841365 3845485 3846965 3850877 3853085 3856637 3860765 3863005 3875109 3887101 3891997 3894989 3898933 3905029 3911685 3917285 3919981 3920565 3929037 3932365 3933821 3934029 3943541 3945565 3960205 3961109 3966469 3967845 3970933 3989669 4000773 4006429 4007197 4014029 4014253 4015461 4032717 4032885 4035685 4038349 4043005 4047173 4047485 4057221 4060205 4065061 4068605 4069045 4081285 4083765 4085549 4088181 4093917 4107837 4111261 4111581 4113205 4121045 4124965 4129829 4129861 4137269 4142301 4142341 4142621 4150829 4152621 4161901 4162085 4165565 4165941 4167301 4173365 4174109 4184405 4186349 4188333 4199461 4207461 4211909 4217293 4223573 4226285 4234341 4234989 4236845 4240589 4240637 4244005 4249245 4258765 4267765 4278253 4278261 4280901 4284637 4289005 4297709 4309565 4313605 4313757 4319885 4328805 4330981 4335261 4341389 4342741 4347077 4364085 4364245 4383989 4405781 4408469 4410733 4411517 4419629 4427661 4430365 4431373 4442269 4451285 4455605 4456317 4458621 4462645 4473221 4475885 4489373 4491277 4493981 4500821 4507405 4508021 4516917 4521909 4533045 4535381 4536829 4537205 4540981 4548165 4549701 4552189 4562565 4567069 4569733 4571589 4579237 4584333 4585605 4593045 4609605 4617845 4618229 4621565 4629005 4632773 4633205 4633741 4634805 4642133 4642365 4647341 4649773 4657469 4661141 4664189 4669205 4679605 4681445 4683629 4686101 4698701 4706501 4709085 4709101 4713245 4715565 4727149 4729805 4742549 4743829 4744309 4744709 4746605 4748341 4762821 4771805 4775365 4775381 4776653 4780501 4781789 4787133 4801621 4802749 4805045 4817117 4817741 4821285 4827205 4835605 4840805 4846445 4850885 4862981 4864893 4865685 4868021 4873045 4875045 4876989 4878005 4880005 4890237 4894901 4900013 4904645 4905285 4906381 4908821 4917469 4931797 4943165 4947973 4949605 4951261 4957941 4963309 4963965 4967989 4972981 4974005 4985245 4985981 4995853 5004069 5008245 5008309 5015549 5018461 5021557 5023645 5025405 5029405 5041061 5044405 5045061 5050749 5052205 5053709 5056493 5059509 5059981 5060237 5076461 5085357 5090509 5093805 5104237 5105093 5115693 5116885 5130829 5134605 5138157 5138965 5143021 5146373 5154373 5161717 5174557 5179213 5181221 5183021 5184301 5190341 5192117 5200373 5201357 5208101 5208429 5210429 5219445 5228093 5247781 5248333 5252453 5253213 5261189 5266877 5271301 5275941 5280765 5284565 5288485 5290077 5294509 5302581 5312429 5313061 5331341 5332173 5332981 5333349 5339365 5341269 5346005 5348013 5349453 5349461 5353341 5356349 5361805 5365645 5377645 5386101 5387253 5401949 5417605 5418645 5419533 5419621 5420909 5424565 5424789 5429749 5445069 5450885 5457445 5461917 5477285 5477389 5479949 5487645 5487869 5490077 5499805 5516885 5518421 5521909 5529605 5537797 5540685 5542509 5543853 5544637 5567205 5573445 5580029 5588565 5593917 5598605 5600653 5607317 5635021 5635805 5654885 5655029 5660949 5669301 5669645 5674069 5677269 5684005 5685101 5685973 5687165 5687637 5688293 5688877 5699885 5704589 5709165 5720709 5721541 5721781 5724245 5725205 5725445 5730413 5733741 5735261 5738549 5750405 5754189 5760733 5775685 5778773 5786501 5788309 5789469 5791381 5791885 5792605 5795205 5812669 5817701 5818709 5818981 5821221 5834685 5834805 5842213 5842349 5844245 5845261 5852845 5853045 5854453 5854949 5855101 5860101 5868429 5869821 5878821 5883405 5884517 5886221 5887245 5888621 5889541 5891645 5891685 5893221 5912445 5916981 5925709 5927277 5931861 5936117 5937605 5938933 5939669 5950245 5967509 5973421 5975133 5975885 5976365 5979597 5980013 5981541 5986533 5987405 5995301 5995605 6015765 6028997 6030485 6037845 6037941 6046205 6064597 6073301 6073541 6080981 6088405 6089101 6098885 6100773 6107197 6115317 6119141 6122605 6122805 6123453 6135861 6140501 6143317 6150261 6155853 6163741 6173205 6175189 6179789 6184365 6189085 6189349 6192437 6196461 6200061 6203901 6206749 6209029 6209437 6211749 6216509 6219389 6226909 6227285 6242181 6250805 6260845 6262573 6263813 6268269 6270117 6282453 6290629 6290869 6299789 6306853 6311149 6312845 6317709 6322405 6324901 6326261 6332365 6337973 6344365 6347341 6349109 6352205 6353677 6355461 6361557 6364605 6367061 6371365 6374381 6374445 6385205 6388005 6400661 6404405 6407965 6409029 6428405 6429885 6439277 6439501 6439669 6442181 6444293 6444589 6444605 6455341 6463205 6468077 6474765 6477765 6493245 6496805 6501909 6502621 6505941 6508405 6524133 6531621 6532981 6536309 6541181 6547021 6556901 6562405 6571429 6572669 6594749 6617117 6620205 6628213 6631989 6634389 6635645 6648573 6648685 6648765 6650405 6653685 6653933 6655589 6656957 6661205 6663541 6673821 6677669 6680949 6684405 6685885 6690741 6699029 6705181 6705741 6712485 6713861 6721421 6721589 6749029 6749589 6749605 6754709 6760805 6762309 6765205 6766845 6768373 6771629 6777589 6785701 6798181 6808069 6830949 6834165 6835213 6835309 6836109 6843221 6853789 6874565 6874797 6884165 6888149 6889485 6889965 6893445 6896645 6898669 6900517 6914869 6925917 6934485 6935453 6941173 6947157 6952621 6963805 6967285 6971613 6980565 6983053 6985461 6991005 6991149 6992661 7004021 7004829 7008365 7010701 7025453 7030621 7042469 7044045 7047501 7049341 7057589 7058413 7058485 7062205 7063581 7066605 7076301 7108733 7109549 7111309 7112885 7113381 7114421 7117805 7119085 7122805 7123109 7123501 7133269 7134805 7136005 7150605 7151101 7154405 7170997 7172309 7190189 7202541 7203189 7204685 7212197 7213605 7225205 7233389 7245077 7246317 7246965 7248885 7249245 7256757 7271405 7276245 7276885 7293581 7310037 7310877 7316205 7316245 7319429 7322477 7324773 7327301 7338541 7350501 7365653 7383117 7387373 7390061 7391685 7393237 7394061 7402389 7407069 7407805 7417389 7424053 7426021 7432253 7437317 7438709 7440461 7443421 7446901 7448117 7450653 7458693 7465645 7469301 7471245 7484789 7497021 7503589 7510061 7515605 7518101 7520885 7522845 7529621 7540117 7550221 7555685 7556253 7563381 7563941 7565261 7575189 7584869 7596149 7600229 7605221 7605749 7607229 7608229 7608877 7609805 7610349 7610421 7610845 7611461 7626565 7626957 7635245 7636069 7636101 7646093 7649821 7656213 7664365 7665357 7665565 7666269 7666861 7678501 7682829 7689045 7693477 7697149 7708805 7719469 7726805 7727781 7731773 7738765 7744765 7749501 7753717 7766805 7776485 7778141 7785781 7786821 7790405 7793261 7796085 7803165 7803349 7804581 7808005 7812485 7825829 7829213 7830781 7832181 7844109 7844397 7846405 7847101 7848109 7857789 7860517 7860701 7864285 7868309 7878805 7885229 7891501 7892981 7902245 7911885 7914781 7916005 7923909 7945021 7954205 7954381 7958621 7960245 7960285 7963285 7974869 7977605 7979885 7996181 8002405 8016333 8019341 8023605 8025101 8027349 8029205 8031061 8033277 8034517 8048685 8054949 8063669 8072981 8075005 8075221 8085941 8092901 8095189 8104349 8117949 8118429 8120805 8134181 8135805 8141821 8142429 8144661 8147165 8153229 8154053 8160541 8167973 8173165 8174829 8183253 8187101 8187445 8188445 8196733 8196909 8197365 8200861 8201445 8221965 8222781 8226029 8228285 8237101 8239805 8251549 8265421 8271637 8272285 8276405 8277197 8280109 8290029 8296085 8298581 8303789 8304285 8305061 8310365 8310965 8311805 8318933 8322853 8325829 8327701 8335621 8336341 8336965 8349245 8350717 8354021 8356589 8357149 8358845 8369261 8371421 8371781 8379789 8388941 8390941 8392605 8411765 8412285 8416965 8419541 8425645 8431717 8447685 8462765 8468085 8470693 8472189 8486405 8491141 8503213 8507605 8516893 8517405 8519061 8520765 8522629 8528645 8547461 8551405 8552477 8553805 8558485 8559245 8574605 8575405 8578149 8579941 8585629 8587293 8588645 8590621 8592469 8593709 8596237 8600005 8604581 8609605 8611085 8611845 8617781 8619301 8620653 8622445 8638573 8639493 8640573 8640885 8649013 8658421 8661261 8664565 8666637 8680373 8682565 8689389 8691845 8692413 8697109 8697533 8701717 8707389 8708605 8709773 8711421 8714613 8721285 8728829 8739141 8740261 8748437 8761389 8761421 8778045 8781149 8783237 8783645 8786549 8792485 8811605 8826461 8829613 8846533 8847101 8850301 8863861 8864429 8866741 8875029 8883381 8884317 8888789 8891213 8894581 8896045 8904005 8907789 8908669 8913605 8918045 8921685 8922901 8930933 8936565 8948149 8950589 8950749 8956365 8961261 8964637 8983293 9000453 9003477 9010029 9031677 9046005 9050829 9056165 9082021 9082797 9085765 9096869 9100469 9114357 9122757 9131781 9140909 9147853 9150949 9152157 9158461 9159005 9170781 9175485 9183997 9191405 9206045 9215149 9218365 9222285 9224405 9226685 9241869 9242157 9242205 9242805 9259469 9262365 9263181 9264869 9272829 9278549 9282981 9285605 9289165 9289405 9298021 9298037 9304589 9309605 9311349 9317429 9320773 9329405 9335261 9341277 9343693 9349493 9350765 9368805 9369093 9373805 9381549 9396749 9409645 9414605 9420061 9433861 9434469 9439645 9441453 9448413 9456293 9458845 9467005 9474765 9482357 9483285 9485029 9486293 9490645 9494549 9495461 9498165 9504605 9506165 9510269 9511557 9515461 9517885 9531501 9533141 9534965 9543669 9559037 9564213 9570165 9595565 9600173 9609845 9624349 9627261 9627389 9632605 9633981 9635381 9639021 9642469 9649861 9653845 9671181 9673685 9678565 9683645 9683877 9684109 9685717 9690445 9693021 9695389 9697885 9701349 9703405 9714901 9718989 9719093 9720485 9722685 9741461 9756805 9762333 9763301 9767381 9774861 9780685 9781613 9782349 9788317 9792645 9799205 9801309 9808365 9810493 9825717 9827285 9834789 9834805 9840533 9848005 9850141 9851821 9858245 9870405 9872245 9875861 9877805 9878109 9881709 9892045 9897557 9899085 9900941 9904965 9905101 9913701 9916197 9926317 9928549 9935765 9940845 9942085 9944309 9946373 9949101 9960581 9965269 9966053 9971333 9973733 9978349 9978389 9979365 9988485